Please login or register.

Login with username, password and session length

Author Topic: Lý thuyết đạo hàm  (Read 74571 times)

24 Tháng Mười, 2007, 04:32:34 PM
  • OLYMPIAN
  • **
  • Posts: 465
  • Điểm bài viết: 10
  • Mỗi sáng còn được thức dậy...
Topic này mang nội dung là lí thuyết và các phương pháp tính đạo cơ bản nhất
« Last Edit: 25 Tháng Mười Một, 2007, 08:12:30 AM by vuvietdung »

25 Tháng Mười, 2007, 05:16:50 PM
Reply #1
  • OLYMPIAN
  • **
  • Posts: 465
  • Điểm bài viết: 10
  • Mỗi sáng còn được thức dậy...
I Định nghĩa đạo hàm
1) Đạo hàm tại 1 điểm  
Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của x0 khi x0 nhận một số gia Δx thì y0 = f(x0) nhận một số gia tương ứng là Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)
Nếu    lim  (Δy/Δx) tồn tại thì ta gọi đó là đạo hàm của hàm số f tại x0. Ký hiệu f'(x0) :
       Δx→0
 
f'(x0) =  lim  (Δy/Δx) =  lim  [f(x0 + Δx) - f(x0)]/Δx
          Δx→0              Δx→0
Nếu đặt x = x0 + Δx thì Δx → 0 tức x → x0 và ta có:
f'(xo)=\lim_{x\to xo} \frac{f(x)-f(xo)}{x-xo}
 
Đạo hàm 1 phía
a) Bên phải
f'(xo+)=\lim_{x\to xo+} \frac{f(x)-f(xo)}{x-xo}
b) Bên trái
f'(xo-)=\lim_{x\to xo-} \frac{f(x)-f(xo)}{x-xo}

2- Đạo hàm trên một khoảng, một đoạn
f(x) có đạo hàm trên (a;b) ↔ f(x) có đạo hàm tại mọi x thuộc (a;b)
f(x) có đạo hàm trên [a;b] ↔ f(x) có đạo hàm trên (a;b), f'(a+) và f'(b-) tồn tại

3-Quan hệ giữa đạo hàm và liên tục của hàm số
Cho hàm số có đạo hàm tại xo =>hàm liên tục tại đó 
không có dấu chỉ chiều ngược lại

4-Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Cho hàm số f(x) có đạo hàm tại xo thì tại điểm đó đồ thị của nó có tiếp tuyến dạng :
y-yo=f'(xo).(x-xo)

5/ Các công thức đạo hàm cơ bản
Cho hàm u ,v ta có các công thức sau :
(u+v)'=u'+v'\\<br />(u-v)'=u'-v'\\<br />(uv)'=u'v+uv'\\<br />(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'\\<br />\frac{u}{v}'=\frac{u'v-vu'}{v^2}\\<br />f'(u(x)0=f'(u(x)).u'(x)\\<br />

(x^a)'=a.x^{a-1}\\ <br />(sinx)'=cosx\\<br />sin(u)=u'.cos(u)\\<br />cos(u)'=-u'sin(u)\\<br /><br />tg(u)'=\frac{u'}{cos^2(u)}\\<br /><br />cotg(u)'=\frac{-u'}{sin^2(u)}\\<br /><br />(a^u)'=u'.lna.a^x\\<br /><br />(e^u)'=u'.e^x\\<br /><br />(arcsinu)'=\frac{u'}{\sqrt{1-x^2} \\<br />(arccosu)'=\frac{-u'}{\sqrt{1-x^2} \\<br />(arctan)'=\frac{u'}{cos^2u} \\<br />(arcotg)'=\frac{-u'}{sin^2u} \\<br /><br />
« Last Edit: 18 Tháng Mười Một, 2007, 11:24:33 AM by minhrichard »

18 Tháng Mười Một, 2007, 12:08:01 AM
Reply #2
  • Mod box Toán
  • Cựu thành viên BĐH
  • ***
  • Posts: 138
  • Điểm bài viết: 1

II. ĐẠO HÀM CẤP CAO - VI PHÂN

1/ Đạo hàm cấp cao
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm y' = f'(x). Đạo hàm cấp n (nếu có) của f(x) được xác định một cách quy nạp như sau :
           [f'(x)]' = f''(x) = f(x)(2) : đạo hàm cấp 2 của f(x)
           [f''(x)]' = f'''(x) = f(x)(3) : đạo hàm cấp 3 của f(x)
           [f'''(x)]' = f''''(x) = f(x)(4) : đạo hàm cấp 4 của f(x)
           ...........
           [f(x)(n-1)]' = f(x)(n) : đạo hàm cấp n của f(x)

2/ Vi phân
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0. Gọi Δx là số gia của biến số tại x0. Tích f'(x0).Δx được gọi là vi phân của hàm số f tại x0 ứng với số gia Δx (vi phân của f tại x0). Ký hiệu : df(x0) = f'(x0).Δx
Nếu lấy f(x) = x thì df = dx = (x)'.Δx = Δx. Do đó ta thay Δx = dx và có : df(x0) = f(x0)dx
Tổng quát : df(x) = f'(x)dx

18 Tháng Mười Một, 2007, 09:08:04 AM
Reply #3
  • OLYMPIAN
  • **
  • Posts: 465
  • Điểm bài viết: 10
  • Mỗi sáng còn được thức dậy...
III- Một số bài toán về tính đạo hàm
Ví dụ 1:
Tính đạo hàm cấp 1 của f(x)=sinx^{cosx}
Riêng về những dạng đạo hàm f(x)=u(x)^{v(x)}
thì không thể dùng những phương pháp thông thường được ,Ta cần ln hai vế
lny=v(x)lnu(x)
Sau đó đạo hàm hai vế lúc đó ta có :
\frac{y'}{y}=(u(x)lnv(x))'
Từ đó ==> đạo hàm cần tìm
« Last Edit: 25 Tháng Mười Một, 2007, 08:17:19 AM by vuvietdung »

18 Tháng Mười Một, 2007, 12:20:45 PM
Reply #4
  • Mod box Toán
  • Cựu thành viên BĐH
  • ***
  • Posts: 138
  • Điểm bài viết: 1

IV. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

1/ Tính đơn điệu của hàm số
a/ Điều kiện cần của tính đơn điệu
        Cho y = f(x) là hàm số có đạo hàm trên (a;b)
  f(x) tăng trên (a;b) → f'(x) ≥ 0, với mọi x thuộc (a;b)
  f(x) giảm trên (a;b) → f'(x) ≤ 0, với mọi x thuộc (a;b)
b/ Điều kiện đủ của tính đơn điệu
        Cho y = f(x) là hàm số có đạo hàm trên (a;b)
  f'(x) > 0, với mọi x thuộc (a;b) → f(x) tăng trên (a;b)
  f'(x) < 0, với mọi x thuộc (a;b) → f(x) giảm trên (a;b)
c/ Hàm hằng
   f là hàm hằng trên (a;b) ↔ f'(x) = 0, với mọi x thuộc (a;b)

2/ Chứng minh bất đẳng thức
a/ Định lý Lagrange: Nếu f là hàm liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên (a;b) thì tồn tại ít nhất một số c thuộc (a;b) sao cho \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)
  * Ý nghĩa hình học : Trên cung AB của đồ thị hàm f, tồn tại ít nhất một điểm mà tại đó tiếp tuyến song song với đường thẳng AB
  * Áp dụng : Nếu f'(x) bị chặn trong khoảng (a;b), tức tồn tại 2 số m, M sao cho :
        m < f'(x) < M, với mọi x thuộc (a;b) → tồn tại c : m < f'(c) < M
        Suy ra : m < \frac{f(b) - f(a)}{b - a} < M
b/ Tính đơn điệu hoặc bảng biên thiên
- Khảo sát sự biến thiên của hàm f
- Dựa vào bảng biến thiên, rút ra đpcm (có thể dùng f'' để xét dấu f')

3/ Biện luận phương trình và bất phương trình
a/ Phương trình f(x) = m
- Phương trình f(x) = m là phương trình hoàng độ điểm chung của đường thẳng (d): y = m và đồ thị hàm số (C): y = f(x)
- Số nghiệm của phương trình là số điểm chung của (d) và (C)
- Dựa vào bảng biến thiên của hàm f và giá trị của m, kết luận số điểm chung, tức số nghiệm của phương trình
- Một cách tổng quát: phương trình f(x) = m có nghiệm ↔ m thuộc MGT của f
b/ Bất phương trình f(x) < m
   Gọi D là MXĐ của f(x)
- Nghiệm của bất phương trình f(x) < m là hoành độ các điểm thuộc đồ thị (C): y = f(x) nằm dưới đường thẳng (d): y = m
- Bất phương trình f(x) < m có nghiệm ↔ có một phần của đồ thị (C) nằm dưới đường thẳng (d)
- Bất phương trình f(x) < m thỏa với mọi x thuộc D ↔ toàn bộ đồ thị (C) nằm dưới đường thẳng (d)
** Tương tự với các bất phương trình : f(x) > m , f(x) ≤ m, f(x) ≥ m

03 Tháng Bảy, 2012, 10:48:29 AM
Reply #5
  • Thành viên mới
  • *
  • Posts: 2
  • Điểm bài viết: 0
    • Nguyễn Thẻo

11 Tháng Bảy, 2012, 02:09:52 PM
Reply #6
  • Thành viên mới
  • *
  • Posts: 2
  • Điểm bài viết: 0
    • Nguyễn Thẻo
Công thức tính đạo hàm và nguyên hàm

Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của x0 khi x0 nhận một số gia Δx thì y0 = f(x0) nhận một số gia tương ứng là Δy = f(x0 + Δx) – f(x0)
Nếu    lim  (Δy/Δx) tồn tại thì ta gọi đó là đạo hàm của hàm số f tại x0. Ký hiệu f’(x0) :
Δx→0

f’(x0) =  lim  (Δy/Δx) =  lim  [f(x0 + Δx) - f(x0)]/Δx
Δx→0              Δx→0
Nếu đặt x = x0 + Δx thì Δx → 0 tức x → x0 và ta có công thức tính đạo hàm như sau:

Công thức tính đạo hàm