Please login or register.

Login with username, password and session length

Author Topic: Tìm công thức tổng quát để chứng minh phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt?  (Read 48077 times)

18 Tháng Ba, 2009, 03:50:35 PM
Reply #15
  • ADMIN
  • ******
  • Posts: 6326
  • Điểm bài viết: 414
Vậy cho tớ hỏi, bạn đã có ý tưởng nào về dạng bài này chưa ? Vì mình thấy ai trả lời bạn cũng bác bỏ

18 Tháng Ba, 2009, 04:50:36 PM
Reply #16
  • BTC ĐTTH - Team Ebook ĐVTT
  • Thành viên mới
  • *
  • Posts: 429
  • Điểm bài viết: 27
  • [ Something wrong .. ]
    • Đội CTXH Lê Quý Đôn
Nhưng ứng dụng của đề tài này là gì :-/ Trong các đề thi Đại học, những bài cho phương trình bậc 3 tham số m, tìm điều kiện để có 3 nghiệm phân biệt, trong trường hợp đấy, thường thì chũng ta sẽ tìm được một nghiệm đặc biệt (không phụ thuộc vào m), sau đó sẽ đưa được về phương trình bậc 2. Việc tìm điều kiện để phương trình bậc 2 tham số m có hai nghiệm phân biệt khác với nghiệm đã tìm được là việc hoàn toàn dễ dàng :)

19 Tháng Ba, 2009, 07:27:28 AM
Reply #17
  • Thành viên mới
  • *
  • Posts: 12
  • Điểm bài viết: 0
Mình luôn tôn trọng các bạn!. Để các bạn dễ hình dung thì mình xin cho ví vụ như sau:
Ví dụ cho phương trình bậc 2: 2x2+mx+1=0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt?
    Khi đó điều kiện : delta=b2-4ac=m2-8>0  => giá trị m cần tìm.

    Như vậy cách giải quyết bài toán ở phương trình bậc 3 cũng tương tự với cách giải quyết bài toán cho phương trinh bậc 2 mà mình nêu ví dụ ở trên. Vấn để là ta đi tìm điều kiện đó.
Còn  bạn "quantri_a2"nói là đi tìm một nghiệm không phụ thuộc vào m và sau đó đưa về phương trinh bậc 2(phải có 2 nghiệm phân biệt). Cái này chỉ áp dụng cho trường hợp đặc biệt và cũng thật khó mà đi tìm nghiệm không phụ thuộc vào m, nếu xảy ra trường hợp cả 3 nghiệm đều phụ thuộc vào m thì bạn giải theo cách đó có được không?. Ở đây ta phải đi tìm "điều kiện tổng quát" áp dụng cho mọi trường hợp. Lưu ý các bạn là chỉ sử dụng các kiến thức ở bậc THPT hoặc kiến thức được bạn đã chứng minh.
« Last Edit: 19 Tháng Ba, 2009, 08:01:52 AM by Ngày mùa »

19 Tháng Ba, 2009, 09:33:41 AM
Reply #18
  • BTC ĐTTH - Team Ebook ĐVTT
  • Thành viên mới
  • *
  • Posts: 429
  • Điểm bài viết: 27
  • [ Something wrong .. ]
    • Đội CTXH Lê Quý Đôn
Mình đang hỏi bạn là ứng dụng của bài này là gì cơ mà :-/ Những bài có 3 nghiệm đều phụ thuộc vào m sẽ chẳng bao giờ ra trong các đề thi Đại học, Tốt nghiệp hay thậm chí là cả kì thi HSG Tỉnh/Thành (có khi cả HSGQG cũng chưa dám động đến). Nếu thực sự có thể tìm được cái gọi là "điều kiện tổng quát" này thì Công thức Cac-đa-nô để làm gì nhỉ :-/ Hoặc nếu thích "Người Việt Nam dùng hàng Việt Nam" thì GS.Nguyễn Văn Mậu cũng từng có 1 phương pháp giải phương trình bậc 3 đấy. Sao người ta không lấy những cái đó vào dạy trong chương trình phổ thông đi. Một khi đã giải được phương trình bậc 3 thì tại sao cứ phải đi tìm điều kiện tổng quát của phương trình làm gì cho nó rắc rối thêm ra.

19 Tháng Ba, 2009, 10:13:27 AM
Reply #19
  • SUPERMOD
  • *****
  • Posts: 857
  • Điểm bài viết: 100
  • NVT BTB + nhà VLV
Giả sử có 1 phương trình bậc 3  f(x)=ax^3+bx^2+cx+d=0
Ta khảo sát f(x) thì thấy do bậc cao nhất là bậc lẻ nên phụ thuộc vào hệ số a dương hay âm mà f(x) sẽ đi từ âm vô cùng tới dương vô cùng hay ngược lại.
Đồ thị của hàm số bậc 3 chỉ có 2 dạng, dạng có 2 cực trị và dạng không có cực trị nào (hoặc cực trị trùng điểm uốn), trường hợp không có cực trị thì phương trình bậc 3 chỉ có 1 nghiệm duy nhất. Trường hợp còn lại ta có khả năng lớn nhất là phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt. Như vậy 3 nghiệm đó nếu có thì sẽ xảy ra khi nào?
Đó là khi 2 điểm cực trị của f(x) nằm về 2 phía của trục hoành. Chúng ta xong phần phân tích.

Tiếp tục tới phần giải toán:
f'(x)=3ax^2+2bx+c (2)
Để f'(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và f(x1) và f(x2) trái dấu thì ta cần
denta' = b^2-3ac > 0
f(x1).f(x2)<0
Điều kiện thứ 2 được tìm từ việc giải nghiệm của phương trình (2), thông thường bài toán này không bao giờ ra tổng quát mà sẽ có ít tham số hơn cho nên việc giải sẽ đơn giản hơn nhiều. Bài toán này là một bài toán điển hình sau khi học khảo sát hàm số, nó giúp chúng ta định hình nhanh hơn về hình dạng đồ thị và ứng dụng của đạo hàm vào giải toán thôi.

Cái mình thấy buồn cười là với một yêu cầu là "tìm điều kiện" của bạn Ngày mùa, mình không hiểu sao bạn lại áp đặt bài này phải giải kiểu này hoặc kiểu nọ (bạn bảo là không được khảo sát hàm số) trong khi ngay cả bạn vẫn chưa tìm được phương án giải. Một bài toán có nhiều con đường để giải mà ;)
À mà quăng mấy cái "tôn trọng" với cả "tài và đức" ấy đi nhé, trong Toán thì ai giỏi thì người ấy tự khắc được mọi người tôn trọng, và họ cũng tôn trọng những người ham tìm hiểu như họ thôi.

19 Tháng Ba, 2009, 12:43:17 PM
Reply #20
  • MOD
  • ***
  • Posts: 1942
  • Điểm bài viết: 100
  • Speak softly love ...
Mình luôn tôn trọng các bạn!. Để các bạn dễ hình dung thì mình xin cho ví vụ như sau:
Ví dụ cho phương trình bậc 2: 2x2+mx+1=0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt?
    Khi đó điều kiện : delta=b2-4ac=m2-8>0  => giá trị m cần tìm.

    Như vậy cách giải quyết bài toán ở phương trình bậc 3 cũng tương tự với cách giải quyết bài toán cho phương trinh bậc 2 mà mình nêu ví dụ ở trên. Vấn để là ta đi tìm điều kiện đó.
Còn  bạn "quantri_a2"nói là đi tìm một nghiệm không phụ thuộc vào m và sau đó đưa về phương trinh bậc 2(phải có 2 nghiệm phân biệt). Cái này chỉ áp dụng cho trường hợp đặc biệt và cũng thật khó mà đi tìm nghiệm không phụ thuộc vào m, nếu xảy ra trường hợp cả 3 nghiệm đều phụ thuộc vào m thì bạn giải theo cách đó có được không?. Ở đây ta phải đi tìm "điều kiện tổng quát" áp dụng cho mọi trường hợp. Lưu ý các bạn là chỉ sử dụng các kiến thức ở bậc THPT hoặc kiến thức được bạn đã chứng minh.
Với 1 bài dạng như này trong thi ĐH, bước đầu tiên là đạo hàm, khảo sát, vẽ bảng biến thiên rồi nhìn đó ra khoảng m là nhanh nhất. Đó là cách thấy cô dạy, còn nếu muốn làm công thức khác, sẽ phải chứng minh 1 mệnh đề ở trên mới được dùng. Nếu bạn là thí sinh thi ĐH thì bạn chọn cái nào ?

19 Tháng Ba, 2009, 01:05:11 PM
Reply #21
  • OLYMPIAN
  • **
  • Posts: 1096
  • Điểm bài viết: 89
  • Trên đời chỉ có một vị thần duy nhất: Tử Thần!
    • March Seventeenth
Vấn đề ở đây là bạn ấy đang muốn nghiên cứu cách mới, chứ làm theo thầy cô dạy thì tầm thường quá :-j Mọi người cố gắng tìm ra cách mới giúp bạn ấy, chứ mình bạn ấy tìm không ra, thế mới phải thảo luận chứ :D

19 Tháng Ba, 2009, 02:53:48 PM
Reply #22
  • ADMIN
  • ******
  • Posts: 882
  • Điểm bài viết: 81
    • Doãn Minh Đăng
Cách làm bạn sonic đưa ra cũng không đạt đến mục tiêu người ta tìm kiếm (sonic khai triển cụ thể hơn ý của Lộc ở trang trước, nhưng vẫn dừng lại ở chỗ phải có đạo hàm rồi tìm x1, x2 ứng với 2 cực trị, thay vào công thức f(x1).f(x2) để so sánh).

Theo mình hiểu ý của Ngày mùa thì cần làm sao để bất đẳng thức f(x1).f(x2)<0 cũng có thể biểu diễn bằng bất đẳng thức chỉ có các hệ số a,b,c,d. Muốn vậy, lập công thức của x1 và x2 theo nghiệm tổng quát phương trình bậc 2 của đạo hàm, sau đó thay vào hàm f(x) thì sẽ ra. Nhưng như vậy, các bạn sẽ phải so sánh một bất đẳng thức có dạng:

g(a,b,c,d)<0, trong đó g(a,b,c,d)=f(x1).f(x2) và có thể có lũy thừa bậc 6 vì f(x1) và f(x2) là biểu thức bậc 3. Câu hỏi tiếp: liệu có thể giảm số bậc lũy thừa cần tính trong g() được không? :)
« Last Edit: 19 Tháng Ba, 2009, 02:55:20 PM by dok »

19 Tháng Ba, 2009, 03:30:58 PM
Reply #23
  • Thành viên mới
  • *
  • Posts: 12
  • Điểm bài viết: 0
L-)
Mình nhận xét thấy bạn "dok" có ý tưởng rất hay, dường như đó là ý tưởng hay nhất trong cuộc thảo luận này nhưng các bạn lại cho điểm bài viết này rất thấp?
Quan trọng trong cuộc thảo luận này chúng ta sẽ được gì? Vấn để ai tìm cách giải bài toán trước là điều không quan trọng? Thông qua đây chúng ta đã tiếp thu những kiến thức hết sức bổ ích. Mình và các bạn  tiếp tục cùng thảo luận. Để thêm phần sôi nổi, sau khi bạn nào tìm được kết quả thì chỉ nên công bố kết quả trước và không cần phải viết bài chứng minh chi tiết. Mình chấp nhận bài viết này của mình là -1 điểm.
« Last Edit: 19 Tháng Ba, 2009, 03:50:30 PM by Ngày mùa »

19 Tháng Ba, 2009, 05:10:07 PM
Reply #24
  • ADMIN
  • ******
  • Posts: 882
  • Điểm bài viết: 81
    • Doãn Minh Đăng
g(a,b,c,d)<0, trong đó g(a,b,c,d)=f(x1).f(x2) và có thể có lũy thừa bậc 6 vì f(x1) và f(x2) là biểu thức bậc 3. Câu hỏi tiếp: liệu có thể giảm số bậc lũy thừa cần tính trong g() được không? :)

Tớ trình bày một ý tưởng để giảm công sức tính toán ở biểu thức kiểm tra điều kiện, mọi người làm thử sẽ thấy kết quả:

+ Trước tiên, đưa hàm số về dạng chính tắc: f(x)=x^3+ax^2+bx+c, phương trình bậc 3 thì có 3 hệ số độc lập thôi (nếu hệ số của x^3 bằng 0 thì nó thành phương trình bậc 2 và sẽ không thể có 3 nghiệm, không cần xét nữa).

+ Gọi x_1, x_2 là các nghiệm của phương trình f'(x)=0, tức đây là các điểm cực trị như sonic đã bàn, lưu ý là ta có công thức tổng quát để tính x_1, x_2f'(x)=3x^2+2ax+b là biểu thức bậc 2, lập công thức theo \Delta là xong.

+ Thay x_1, x_2 vào hàm f(x) để kiểm tra f(x_1).f(x_2)<0:

f(x_1).f(x_2)=(x_1^3+ax_1^2+bx_1+c)(x_2^3+ax_2^2+bx_2+c) (1)

Các biện pháp dùng để giảm số bậc cần tính trong (1):

- Bước 1 - rút một bậc ra khỏi các ngoặc: Ta biết là f'(x_1)=f'(x_2)=0, do đó: f(x_1).f(x_2) = [f(x_1) - \frac{c}{b}f'(x_1)][f(x_1) - \frac{c}{b}f'(x_2)], lý do ta trừ đi một lượng cũng bằng 0 này là vì nó sẽ giúp triệt tiêu giá trị c (không nhân với biến x) trong mỗi dấu ngoặc của (1), nhờ vậy ta rút được x_1x_2 ra khỏi 2 ngoặc. Bất đẳng thức cần kiểm tra có dạng:

x_1.g(x_1, a,b,c).x_2.g(x_2, a,b,c) < 0 (2)
trong đó biểu thức g() là biểu thức bậc 2 đối với x_1 hoặc x_2.

- Bước 2 - rút thêm một bậc nữa khỏi các ngoặc: Lại dùng cách trừ thêm một số bằng 0 ứng với f'(x_1), f'(x_2) như bước trên, ta lấy thêm x_1, x_2 ra khỏi ngoặc, rút gọn (2) thêm nữa, thành:

x_1.x_1.h(x_1, a,b,c).x_2.x_2.h(x_2, a,b,c) < 0 (3)
trong đó h() chỉ còn là biểu thức bậc 1 của x_1, x_2. Mấy thừa số chung được rút ra là x_1^2.x_2^2>0 nên không cần xét nữa.

- Thay x_1, x_2 bằng công thức nghiệm của f'(x)=0 vào (3), sẽ ra một biểu thức dạng:
(\alpha. \sqrt{\Delta} - \beta)(\alpha. \sqrt{\Delta} + \beta) < 0, chuyển nó thành

\alpha^2. \Delta - \beta^2 < 0 (4)
và ta sẽ khỏi phải tính căn bậc 2 luôn.

-> kiểm tra bất đẳng thức (4) thì biết phương trình bậc 3 ban đầu có 3 nghiệm phân biệt hay không. Cách làm tớ nêu như vậy chắc đủ, ai muốn có công thức cụ thể thì đi theo từng bước sẽ khai triển ra biểu thức ở (4).

Khi có công thức tổng quát (4) thì học sinh cấp 2 gặp phương trình x^3+ax^2+bx+c=0 thay các hệ số vào làm các phép cộng trừ nhân chia là được ;), giống như chúng ta biết cách tính \Delta của phương trình bậc 2 mà chả cần quan tâm cách lý giải như thế nào để có công thức đó :D. Tuy nhiên, muốn đi đến công thức tổng quát này thì tớ cũng dùng phương pháp khảo sát hàm số :) (chỉ là một cách đi, chằc là còn có phương pháp dẫn giải khác không cần dùng khảo sát hàm số).


@ Ngày mùa: "Điểm bài viết" là xét theo cả quá trình dài chứ không chỉ tính từng bài, bạn xem ở đây để biết cơ chế tính điểm bài viết: http://www.olympiavn.org/forum/index.php?topic=4301.0

« Last Edit: 19 Tháng Ba, 2009, 05:34:11 PM by dok »

24 Tháng Ba, 2009, 01:34:26 PM
Reply #25
  • Thành viên mới
  • *
  • Posts: 12
  • Điểm bài viết: 0
g(a,b,c,d)<0, trong đó g(a,b,c,d)=f(x1).f(x2) và có thể có lũy thừa bậc 6 vì f(x1) và f(x2) là biểu thức bậc 3. Câu hỏi tiếp: liệu có thể giảm số bậc lũy thừa cần tính trong g() được không? :)

Tớ trình bày một ý tưởng để giảm công sức tính toán ở biểu thức kiểm tra điều kiện, mọi người làm thử sẽ thấy kết quả:


Bước 1 - rút một bậc ra khỏi các ngoặc:[/u] Ta biết là f'(x_1)=f'(x_2)=0, do đó: f(x_1).f(x_2) = [f(x_1) - \frac{c}{b}f'(x_1)][f(x_1) - \frac{c}{b}f'(x_2)], lý do ta trừ đi một lượng cũng bằng 0 này là vì nó sẽ giúp triệt tiêu giá trị c (không nhân với biến x) trong mỗi dấu ngoặc của (1), nhờ vậy ta rút được x_1x_2 ra khỏi 2 ngoặc.
Trong bài viết của bạn dok có chỗ sai. Không phải là "f(x_1).f(x_2) = [f(x_1) - \frac{c}{b}f'(x_1)][f(x_1) - \frac{c}{b}f'(x_2)]" mà là f(x_1).f(x_2) = [f(x_1) - \frac{c}{b}f'(x_1)][f(x_2 - \frac{c}{b}f'(x_2)]
Cách giải quyết bài toán bạn dok dài quá. Cần có tìm phương pháp tối ưu nhất.

Mình xin công bố kết quả như thể này:
Đặt f(x)=ax3+bx2+cx+d
   Với x=x1 hoặc x=x2(x1,x2 là hai nghiệm của f'(x)
    Ta lấy f(x)/f'(x) ta tìm đuợc một biểu thức h(x) có bậc là 1. Ta cũng có thể thực hiện một cách đơn giản hơn là phân tích f(x) thành các biểu thức có chứa f'(x).
Khi đó ta thu được h(x) là biểu thức bậc 1 vì: Với x=x1 hoặc x=x2 thì f'(x)=0 nên ta suy ngay ra kết quả của f(x)(ta đang xét x có giá trị là x1 hoặc x2)
Tiếp tục sử dụng định lý vỉet cho phương trình f'(x)=0.
Ta thu được kết quả: f(x1).f(x2)=g(a,d,c,d) vì lúc đó f(x)=h(x) là biểu thức bậc 1

Chú ý:Việc chia đa thức với đa thức rất phức tạp nếu f(x) chứa các tham số. Vì vậy các bạn tùy cơ mà chọn cho phù hợp.

Các bạn nào muốn bài giải chi tiết thì liên hệ mình nhe.



« Last Edit: 25 Tháng Ba, 2009, 07:07:07 AM by Ngày mùa »

24 Tháng Ba, 2009, 07:42:39 PM
Reply #26
  • ADMIN
  • ******
  • Posts: 882
  • Điểm bài viết: 81
    • Doãn Minh Đăng
Cảm ơn bạn Ngày mùa chỉ ra giúp chỗ tớ gõ nhầm f'(x2) thành f'(x1).

Cách phân tích đa thức f(x) theo f'(x) để hạ bậc ngắn gọn và dễ hiểu nhỉ, không cần nghĩ ra thêm thủ thuật dài dòng như bài của tớ ở trên. :)

28 Tháng Tư, 2010, 08:31:08 AM
Reply #27
  • Thành viên mới
  • *
  • Posts: 1
  • Điểm bài viết: 0
Anh Ngày Mùa cho em hỏi chút ! Khi anh chia f(x) cho f'(x) được h(x) thì với nghiệm x1 x2 thay vào f'(x) làm sao mà f(x)=h(x) được. theo em thì phải là như thế này : f(x) = f'(x).h(x) + phần dư của phép chia f(x)/f'(x).vì f'(x) = 0 nên f(x)= phần dư thôi . Nhưng một vài trường hợp có tham số phức tạp thì phần dư khá dài . cách này vẫn chưa thực sự ổn dù nếu làm như vậy vẫn ra nhưng dễ bị nhầm.theo em thấy thì thương các bài cho hệ số phức tạp như vậy thì toàn có 1 nghiệm là -1 hoặc 1 rồi . nếu không có thì làm theo cách trên

24 Tháng Năm, 2011, 09:05:03 AM
Reply #28
  • Thành viên mới
  • *
  • Posts: 1
  • Điểm bài viết: 0
    • mr.pro
Mình luôn tôn trọng các bạn!. Để các bạn dễ hình dung thì mình xin cho ví vụ như sau:
Ví dụ cho phương trình bậc 2: 2x2+mx+1=0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt?
    Khi đó điều kiện : delta=b2-4ac=m2-8>0  => giá trị m cần tìm.

    Như vậy cách giải quyết bài toán ở phương trình bậc 3 cũng tương tự với cách giải quyết bài toán cho phương trinh bậc 2 mà mình nêu ví dụ ở trên. Vấn để là ta đi tìm điều kiện đó.
Còn  bạn "quantri_a2"nói là đi tìm một nghiệm không phụ thuộc vào m và sau đó đưa về phương trinh bậc 2(phải có 2 nghiệm phân biệt). Cái này chỉ áp dụng cho trường hợp đặc biệt và cũng thật khó mà đi tìm nghiệm không phụ thuộc vào m, nếu xảy ra trường hợp cả 3 nghiệm đều phụ thuộc vào m thì bạn giải theo cách đó có được không?. Ở đây ta phải đi tìm "điều kiện tổng quát" áp dụng cho mọi trường hợp. Lưu ý các bạn là chỉ sử dụng các kiến thức ở bậc THPT hoặc kiến thức được bạn đã chứng minh.
Bạn này không biết là đã học trung học phổ thông chưa hay đang học các bậc cao hơn nên không biết trong chương trình phổ thông phương trình bậc 3 hiện chưa có cách giải cho nên  cách tìm biệt thức delta như giải PT bậc 2 là không thể làm được vì vậy nếu bạn hoặc ai đó có cách làm tương tự như lập delta gải điều kiện tìm nghiệm như ở PT bậc 2 bắt buộc phải CM chứ không được làm như giải PT bậc hai, trong đề thi đại học người ra đề ra với mục đích kiểm tra kiến thức và khả năng tính toán của học sinh qua các cách giải như nhẩm một nghiệm, đưa m về một vế, tìm đk để đt có 3 giao điểm với trục hoành để cm có 3 nghiệm(Ycđ*Yct<=0),......Vậy nên tốt nhất bạn nên học và làm theo các cách truyền thống trên nếu bạn đang học THPT nếu làm cách khác không được học trong chương trình sẽ không đúng với ý đồ người ra đề và không được tính điểm.
 

03 Tháng Chín, 2011, 01:31:41 PM
Reply #29
  • Thành viên mới
  • *
  • Posts: 5
  • Điểm bài viết: 0
    • Hoàng Quốc Việt
Mình luôn tôn trọng các bạn!. Để các bạn dễ hình dung thì mình xin cho ví vụ như sau:
Ví dụ cho phương trình bậc 2: 2x2+mx+1=0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt?
    Khi đó điều kiện : delta=b2-4ac=m2-8>0  => giá trị m cần tìm.

    Như vậy cách giải quyết bài toán ở phương trình bậc 3 cũng tương tự với cách giải quyết bài toán cho phương trinh bậc 2 mà mình nêu ví dụ ở trên. Vấn để là ta đi tìm điều kiện đó.
Còn  bạn "quantri_a2"nói là đi tìm một nghiệm không phụ thuộc vào m và sau đó đưa về phương trinh bậc 2(phải có 2 nghiệm phân biệt). Cái này chỉ áp dụng cho trường hợp đặc biệt và cũng thật khó mà đi tìm nghiệm không phụ thuộc vào m, nếu xảy ra trường hợp cả 3 nghiệm đều phụ thuộc vào m thì bạn giải theo cách đó có được không?. Ở đây ta phải đi tìm "điều kiện tổng quát" áp dụng cho mọi trường hợp. Lưu ý các bạn là chỉ sử dụng các kiến thức ở bậc THPT hoặc kiến thức được bạn đã chứng minh.
Bạn này không biết là đã học trung học phổ thông chưa hay đang học các bậc cao hơn nên không biết trong chương trình phổ thông phương trình bậc 3 hiện chưa có cách giải cho nên  cách tìm biệt thức delta như giải PT bậc 2 là không thể làm được vì vậy nếu bạn hoặc ai đó có cách làm tương tự như lập delta gải điều kiện tìm nghiệm như ở PT bậc 2 bắt buộc phải CM chứ không được làm như giải PT bậc hai, trong đề thi đại học người ra đề ra với mục đích kiểm tra kiến thức và khả năng tính toán của học sinh qua các cách giải như nhẩm một nghiệm, đưa m về một vế, tìm đk để đt có 3 giao điểm với trục hoành để cm có 3 nghiệm(Ycđ*Yct<=0),......Vậy nên tốt nhất bạn nên học và làm theo các cách truyền thống trên nếu bạn đang học THPT nếu làm cách khác không được học trong chương trình sẽ không đúng với ý đồ người ra đề và không được tính điểm.
Em có ý kiến. Sao không sử dụng phương pháp Cardano để giải. Cãi nhau làm gì cho mệt.